Question

已知函数的值域为,函数.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时,若函数有零点,求的取值范围,并讨论零点的个数.

Answer

（Ⅰ);(Ⅱ)答案见详解.

【解析】

(Ⅰ)对分段函数求值域,分别求出每一段函数的值域,再求其并集即可;

(Ⅱ)函数有零点,即表示方程有根,

与函数图像有交点,因而将换元,利用二次函数性质求出其值域,再数形结合讨论零点个数即可.

(Ⅰ)如下图所示:

当时,;当时,,

所以函数的值域为;

(Ⅱ)若函数有零点,

即方程有根,

即与函数图像有交点,

令,,

当时,,

此时,

即函数的值域为,

故而:当时,函数有零点,

且当或时,函数有一个零点;

当时,函数有两个零点.