Question

已知圆经过,两点,且圆心在直线：上.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若点在直线：上,过点作圆的一条切线,为切点,求切线长的最小值；

（Ⅲ）已知点为,若在直线：上存在定点（不同于点）,满足对于圆上任意一点,都有为一定值,求所有满足条件点的坐标.

Answer

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)根据题意,设出圆的标准方程,代入条件,列方程求解即可;

(Ⅱ)由勾股定理得,所以要求的最小值,即求的最小值,而最小时,垂直于直线,据此可得结论;

(Ⅲ)设,,列出相应等式化简,再利用点的任意性,列出方程组求解即可.

(Ⅰ)设圆的方程为,

根据题意有,解得,

所以圆的方程为;

(Ⅱ)由勾股定理得,即,

所以要求的最小值,即求的最小值,

而当垂直于直线时,最小,此时,

所以的最小值为;

(Ⅲ)设,满足,

假设的定值为,则,

化简得,

因为对于圆上任意一点上式都成立,

所以,解得(舍),

因此满足条件点的坐标为.