Question

已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若且在 上的最小值为，求的值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据奇函数定义确定，代入可得实数的值，再利用定义证明时，函数为奇函数，（2）先研究函数单调性：为上的单调递增函数，再利用奇函数和单调性转化不等式，最后再根据一元二次不等式恒成立，利用判别式恒负求实数的取值范围；（3）先根据条件，解出的值.再根据与的关系，将函数转化为一元二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最小值取法，最后由最小值为，求出的值.

（1）因为是定义域为的奇函数，所以，

所以，所以，

（2）由（1）知：，

因为，所以，又且，所以，

所以是上的单调递增，

又是定义域为的奇函数，

所以

即在上恒成立，

所以，即，

所以实数的取值范围为.

（3）因为，所以，解得或（舍去），

所以，

令，则，

因为在上为增函数，且，所以，

因为在上的最小值为，

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为

所以当时， ，解得或（舍去），

当时， ，解得，

综上可知：.