Question

已知函数，其中

（1）当时，求函数在上的最大值和最小值;

（2）若方程恰好有3个不同解.

（i）求实数的取值范围;

（ii）比较与的大小.

Answer

（1）最大值4；最小值0.（2）（i）或.（ii）答案见解析

【解析】

（1）当时，求出每一段的最值，即可的函数的最值；

（2）（i），利用数形结合，讨论，与的大小关系，找到图像有3个交点的情况，根据图像找不等式解出实数的取值范围；

（ii）根据（i）中的图像，利用二次函数的对称性，以及作差法，比较大小.

（1）当时，，

又，

所以，；

（2）（i）令，得，

，

∵恰好有3个不同解，结合图像，

①当时，不存在这样的实数；

②当，即时，解得；

③当，即时，解得.

④当或时，不存在这样的实数；

或

综上所述或；

（ii）当时，是方程的两实根，

此时，而，

所以，

当时，.

是方程的两实根，

所以，

所以，

所以.

综上所述，当时，；当时，.