Question

如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.

（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.

（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，

又为的角平分线，四边形为正方形，，

又，，，，，又为的中点，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如图空间直角坐标系，则，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则，，

令，得,

设平面的一个法向量为，则，

，令，得

，由图示可知二面角是锐角，

故二面角的余弦值为.