Question

已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，定值，理由见解析

【解析】

（1）根据已知条件得，，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得，得出椭圆的标准方程；

（2）设，，，设直线，联立，消去得，，，根据弦长公式求，

法一:由在线段的垂直平分线上，得，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标，可求得，可得所求的比值；

法二:求出 线段的中点和线段的垂直平分线方程，可得点的坐标，可求得，可得所求的比值；

（1）如图，，，，直线的方程为，

直线与圆相切，，，

椭圆的标准方程为.

（2）设，，，

设直线，联立，消去得，

，

法一:在线段的垂直平分线上，，………①

在椭圆上，，，

代入①得，化简得

法二: 线段的中点为，线段的垂直平分线为，

令，得

，，

故为定值.