Question

已知函数().

（1）讨论的单调性；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；

（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，

分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;

法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.

（1）的定义域为，，

①当时，由得，得，

在上单调递减，在上单调递增；

②当时，恒成立,在上单调递增；

（2）法一: 由得，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

令，

则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，

(*)

当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意

法二:由得，，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意

当时，令，则，所以在上单调递减，

又，当时，，，使得，

当时，，即，

又，，，不满足题意，

综上所述，的取值范围是