Question

已知是抛物线上两点，线段的垂直平分线与轴有唯一的交点.

（1）求证:；

（2）若直线过抛物线的焦点，且，求.

Answer

（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）设，()，将坐标化得，再利用点在抛物线上得到与的关系，利用得；

（2）由已知可得直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程为()，利用弦长求得的值，再代入焦半径公式即可求得答案.

（1）设，()，

在线段的垂直平分线线上，，

………①

，在抛物线上，

，，

代入①得，化简得，

，，，

，.

（2）由已知可得直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程为()，

联立，消去得，，

，，

，.