Question

如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

(1)详见解析 (2)

【解析】

试题分析:(1)题目已知,利用线面垂直的性质可得,已知角和,利用余弦定理即可说明,即垂直于面内两条相交的直线,根据线面垂直的判断即可得到直线垂直于面.

(2)菱形为菱形可得,则与所成角与角大小相等,即求角的余弦值即可,利用菱形所有边相等和一个角为即可求的的长度,根据(1)可得面,即角为二面角的平面角为,结合为直角三角形与的长度,即可求的长度,再直角中,已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的角的余弦值,进而得到异面直线夹角的余弦值.

(1)如图,因为,,所以,连接,由题可知是正三角形,又是的中点,所以,而,故平面.

(2)因为,所以与所成的角等于与所成的角,即是与所成的角,由(1)可知,平面,所以,又,于是是二面角的平面角,从而,不妨设,则,易知,在中,,连接,在中,,所以异面直线与所成角的余弦值为.