Question

如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且．

求三棱锥的表面积；

求证平面DEF；

若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）（2）先证EF⊥AC，再证DE⊥AC，即可证AC⊥平面DEF

（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．

【解析】

试题【解析】
（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

∴，，．

三棱锥D－ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝