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如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF//BC.

(Ⅰ)证明:AB平面PFE.            

(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.

 

(1)见解析(2) BC=3或BC=3 【解析】 试题(Ⅰ)先由已知易得,再注意平面平面,且交线为,由面面垂直的性质可得平面,再由线面垂直的性质可得到,再注意到,而,从而有,那么由线面垂的判定定理可得平面, (Ⅱ)设则可用将四棱锥的体积表示出来,由已知其体积等于7,从而得到关于的一个一元方程,解此方程,再注意到即可得到的长. 试题解析:证明:如题(20)图.由知,为等腰中边的中点,故 , 又平面平面,平面平面,平面,, 所以平面,从而. 因. 从而与平面内两条相交直线,都垂直, 所以平面. (2)【解析】 设,则在直角中, .从而 由,知,得,故, 即. 由,, 从而四边形DFBC的面积为 由(1)知,PE平面,所以PE为四棱锥P-DFBC的高. 在直角中,, 体积, 故得,解得,由于,可得. 所以或.
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如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,ECD的中点.

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(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.

 

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(Ⅱ)求证:

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