Question

已知在中，，.S是所在平面外一点，，，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离.

Answer

【解析】

连接连接PA，PB易知，，分别取AB，AC的中点E，F，结合题意，证得平面ABC，从而得到PE的长就是点P到平面ABC的距离，在直角三角形中应用勾股定理求得结果.关于方法二，将三棱锥补体成四棱锥，证得平面ADBC，利用斜线段的中点到面的距离等于线段端点到面的距离的一半求得结果.

（方法一）如图，连接PA，PB易知，.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则，.

∵，，，.

∴，

∴，.

∵，∴平面PEF，∴.

易证，∴.

又E是AB的中点，∴.

∵，∴平面ABC.

从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.

∵P是SC的中点，

∴在中，，

，

∴，

即点P到平面ABC的距离为.

（方法二）如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.

∵，，

∴.∴四边形ADBC为正方形，连接SD.

易知，又，，

∴平面SDA，∴.

易知，又，，

∴平面SDB，∴.

∵，∴平面ADBC.

∴SD的长即点S到平面ABC的距离.

在中，易得.

∵点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为.