Question

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接．

（Ⅰ）证明：平面． 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．

Answer

（Ⅰ）因为底面，所以． 由底面为长方形，有，而，所以平面．平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，所以平面．四面体是一个鳖臑；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）因为底面，所以． 由底面为长方形，有，而，所以平面．平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，所以平面． 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是

（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以．在△中，因为，点是的中点，所以，于是