Question

如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图②所示的几何体.

(1)求证：平面；

(2)若，与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离.

Answer

(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，可直接证明结论成立；

（2）先由题中条件得到为与其在平面内的正投影所成角，求出，设，根据三角相似得到，再由题意得到，设点到平面的距离为，根据，即可求出结果.

(1)因为平面平面，平面，，平面，所以平面.

因为平面，所以，

又因为，且，

所以平面；

(2)由(1)知平面，所以在平面内的正投影为，即为与其在平面内的正投影所成角.

依题意得，

因为，所以，

设，则，

因为，所以，即，

解得，故，，.

由于平面，平面，

所以，又为的中点，

所以由平面几何知识得，

因为，为的中点，所以，

所以.

因为平面，

所以.

设点到平面的距离为，

则由，

得

即点到平面的距离为.