Question

四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer

（1）见解析（2）N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

【解析】

试题（1）由和平面，证明，再由平面得，根据线面垂直的判定定理证出平面，即证出；（2）在中过点作交于点，在中过点作交于点，连，证明平面平面，可得平面，从而可得结论.

试题解析：

证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，

∴BF⊥AE，BF⊥CE，

∵EB=BC，∴F是CE的中点，

又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABE，

∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB

∴BC⊥平面ABE，

从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴AE⊥BE；

（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，

在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，

∴CN=CE．

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

∴MG∥平面ADE．

同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，

∴平面MGN∥平面ADE．

又MN⊂平面MGN，

∴MN∥平面ADE．

故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.