Question

如图.四棱柱的底面是直角梯形，，，，四边形和均为正方形.

（1）证明；平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）证明平面ABCD，再利用面面垂直判定定理证明

（2）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可

（1）证明：因为四边形和均为正方形，所以，.

又，所以平面ABCD.

因为平面，所以平面平面ABCD.

（2）（法—）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

则，.

设为平面的法向量，则

令，则，，所以.

又因为平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.

所以.

因为二面角是锐角.所以二面角的余弦值为.

（法二）过B作于H，连接.

由（1）知平面ABCD，则，

而，所以平面

所以

从而为二面角的平面角.

由等面积法，可得，即.

所以，

故.