Question

设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer

（1）； （2）证明见解析，.

【解析】

（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.

（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.

（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.

（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.

设，，直线的方程为

联立，整理得

则，.

因为直线与直线的斜率之和为1，所以，

所以，

将，代入上式，整理得.

所以，即，

则直线的方程为.

故直线恒过定点.