Question

已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数.

（1）求，；

（2）解不等式；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或；（3）或或．

【解析】

（1）用赋值法先求出，然后可求，；

（2）由再结合函数的单调性可解不等式；

（3）由单调性得在上的最小值，问题变为对恒成立，作为的一次不等式易得结论．

（1）因为对一切实数，都有，，

令，则，，

令，则，，

令，则，

令，则．

（2）∵，

∴不等式化为

，即，

，∴，又是减函数，

所以，解得或．

解集为或

（3）因为是减函数，∴在上的最小值为，

∴对任意，恒成立，等价于对恒成立，

∴，解得或或．

所求范围是或或．