Question

在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

Answer

（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）3.

【解析】

（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；

（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．

（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）

即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），

则，即，即ρ=4cosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.

（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，

得，

即，t1，t2为方程的两个根，

∴t1t2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．