Question

已知函数，其中为实数

（1）当时，若在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得关于的方程有三个不同的实数解？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在，实数的取值范围是

【解析】

（1）当时，，判断出函数在上的单调性，求出其最小值即可；

（2）通过对原方程进行化简，设，则原题意化为有两个不同的实数根，，且满足，或，，利用数形结合思想，由二次函数根的分布列出不等式组，解出即可.

（1）当时，，

因为，在区间上均为递增函数，

所以在区间上是递增函数，

故在区间上的最小值为，因为，所以，

故只需，所以实数的取值范围是：

（2）方程即为，可化为，，

设，则方程化为，

因为方程有三个不同的实数解，所以由的图象可知，有两个不同的实数根，，

且满足，或，.

记，则或

解得，

所以实数的取值范围是.