Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．               

               

(1) 证明：PB∥平面AEC               

(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积

Answer

【解析】

试题（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积

试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．

设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，

由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.