Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为A，右顶点B在直线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

【解析】

（Ⅰ）根据条件解得a,b值，（Ⅱ）设点P（x0，y0），解得D点坐标，即得以BD为直径的圆圆心坐标以及半径，再根据直线PF方程，利用圆心到直线PF距离与半径大小关系作判断.

（Ⅰ）依题可知B（a，0），a=2，因为，所以c=1，

故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：设点P（x0，y0），则

①当x0=1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，

D的坐标为（2，±2）．

此时以BD为直径的圆与直线PF相切．

②当≠1时直线AP的方程为，

点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故

直线PF的斜率为，

故直线PF的方程为，即，

所以点E到直线PF的距离,故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．