Question

已知函数.

（1）判断函数在R上的单调性，并用定义证明你的结论；

（2）若对于任意的，恒成立，求实数m的最大值.

Answer

（1）在R上是增函数，证明见解析（2）4

【解析】

（1）利用定义法证明函数的单调性即可；

（2）利用函数的单调性和奇偶性把对于任意的，恒成立转为对任意的，，即恒成立，即可得到本题答案.

（1）在R上是增函数，证明如下.

取任意的，且

则，又，，则，，则，故在R上是增函数；

（2）注意到，则为奇函数，则，

由（1）可知，在R上是增函数，则，

则原问题等价于对于任意的，恒成立，求实数m的最大值，

即，恒成立，易知当时，，故m的最大值为4.