Question

如图，是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，，，设，四边形的周长为.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

（3）记的面积为是否存在实数a，对于任意的，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），（2）（3）存在，

【解析】

（1）在中，利用，求得，即可得到本题答案；

（2）由，得或，结合图象即可确定m的取值范围；

（3）由题意得，，分和两种情况考虑，即可得到本题答案.

（1）如图，在中，过点C作于点E，则，所以，，所以，；

（2）由，，得，

所以，即或，

由方程在区间上有两个不相等的实数根，结合图象可得，

得，即实数的取值范围是.

（3），，则

由题意知，因为在上单调递增，所以.所以，假设存在实数a满足条件，则至少存在一个满足，所以，即，又，所以

当时，在上，恒成立，所以在上单调递增，

，所以，解得，所以；

当时，存在，使得都满足，所以符合.

综上，实数a的取值范围是.