Question

直三棱柱中，，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为__________．

Answer

.

【解析】

设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．

如图，在中，设，则．

分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，

连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．

连，则为外接球的半径，设半径为．

∵三棱锥的体积为，

即，

∴．

在中，可得，

∴，当且仅当时等号成立，

∴球表面积的最小值为．

故答案为．