Question

设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记

M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

Answer

(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)

【解析】

（Ⅰ），．

（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，

相应的分别为、、、，

所以中的每个元素应有奇数个，

所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：

、、、，

、、、，

对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，

所以集合、、、满足题意，

假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，

则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，

故中元素个数的最大值为．

（Ⅲ），

此时中有个元素，下证其为最大．

对于任意两个不同的元素，满足，

则，中相同位置上的数字不能同时为，

假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，

所以除外至少有个元素含有，

根据元素的互异性，至少存在一对，满足，

此时不满足题意，

故中最多有个元素.