Question

如图，已知是半径为2的半球的直径，为球面上的两点且，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）作于点，连，由勾股定理及三角形全等得，根据线面垂直的判定定理得平面，进而可得结果；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）在中，过作于点，连．

由可知，且，

又 ，∴．

又， ∴平面，又平面，

∴平面平面．

（2）由（1）可知两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，可知．

设平面的法向量为 ，

则，即， ∴，

令，则得， ∴，

又平面的法向量， ∴，

而二面角与的夹角相等，因此所求的二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.