Question

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）判断在内的零点个数，并加以证明.

Answer

（1）（2）在内有且仅有两个零点，证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解；

（2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数.

（1），所以切线方程为

，即，亦即.

（2）①当时，，所以在上单调递增，且，

，故在内有唯一的零点.

②当时，令，则，所以

在上单调递减，且，，所以存在，使得，所以当时，，即在递增，

当时，，即在递减.

又，.

故在内有唯一的零点.

综上，在内有且仅有两个零点，.