Question

已知曲线上任意一点到直线：的距离是它到点距离的2倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.

（1）求，的方程；

（2）设过点的动直线与曲线相交于，两点，分别以，为切点引曲线的两条切线，，设，相交于点.连接的直线交曲线于，两点.

（i）求证：；

（ii）求的最小值.

Answer

（1）的方程为，的方程为（2）（i）证明见解析（ii）

【解析】

（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；

（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i）证明斜率之积为-1，（ii）化简代数式根据基本不等式求解最值.

（1）设，则由题意有，化简得：.

故的方程为，

为抛物线的焦点，设其方程，

易知的方程为.

（2）（i）由题意可设的方程为，代入得，

设，，则，由有，

所以，的方程分别为，.故，

即，，从而.

（ii）可设的方程为，代入得

，设，，

则，

所以

（其中）.

设，则，故在单调递增，

因此，

当且仅当即等号成立.

故的最小值为7.