Question

如图，在直角梯形中，，，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．

（）求证：．

（）当点满足时，求证：直线平面．

（）当点是线段中点时，求直线和平面所成角的正弦值．

Answer

(1)见解析；（2）见解析；（3）直线和平面所成角的正弦值为.

【解析】

试题（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据点积为0可证的结论；（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；（3）求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.

解析：

由已知可得，，，两两垂直，以为原点，

，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

因为，

所以，，，，，，．

（）证明：，，，

∴，，

∴，，

即，，

∴平面．

又∵平面，

∴．

（）设点坐标为，则，．

∵，∴，，，

解得：，，，即．

设平面的一个法向量，

∵，，

∴，即，

令，则，，得．

又，

∴．

∴直线平面．

（）当点是线段中点时，，

设的一个法向量为．

∵，，

∴，解，

令，则，，得．

设与平面所成角为，则

．

故直线和平面所成角的正弦值为．