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已知椭圆的离心率为,以椭圆的上焦点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长...

已知椭圆的离心率为,以椭圆的上焦点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线,且分别交椭圆于两点(不是椭圆的顶点),探究直线是否过定点,若过定点则求出定点坐标,否则说明理由.

 

(1) (2) 恒过定点,见解析 【解析】 (1)由题得,,解方程组即得椭圆的方程;(2)设的方程为,的方程为,当斜率存在时,的方程为,过定点,当MN的斜率不存在时,也过定点. 即得解. (1)∵,∴, 设圆的方程为,圆心为,半径为, 设为圆心到直线的距离, 则, ∵, ∴,即, ,∵,∴. 所以椭圆的方程为. (2)设的方程为,的方程为, 联立,可得, 整理,设, ∵不是椭圆的顶点, ∴, 代入,得, , 联立 ,设, ∴, 带入,得, , ①若斜率存在, , : 恒过. ②若斜率不存在, 的方程为,的方程为, ,,此时:,亦过, 综上,直线恒过.
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如图,在直角梯形中,,直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到,且使得平面平面为线段的中点,为线段上的动点.

)求证:

)当点满足时,求证:直线平面

)当点是线段中点时,求直线和平面所成角的正弦值.

 

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已知圆,点在圆内,在过点P所作的圆的所有弦中,弦长最小值为.

1)求实数a的值;

2)若点M为圆外的动点,过点M向圆C所作的两条切线始终互相垂直,求点M的轨迹方程.

 

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某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[4050),[5060),[6070),[90100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.

1)求图中x的值;

2)求这组数据的中位数;

3)现从被调查的问卷满意度评分值在[6080)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.

 

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如图,已知抛物线的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点M作MN⊥ FA,垂足为N,求点N的坐标.

 

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某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:

员工编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年薪(万元)

4

4.5

6

5

6.5

7.5

8

8.5

9

51

 

1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;

2)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元,预测该员工第六年的年薪为多少?

附:线性回归方程中系数计算公式分别为:,其中为样本均值.

 

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