Question

设是首项为，公比为的等比数列，且是与的等差中项，数列的前项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ;(2)

【解析】

(1)根据等差中项概念列方程解得公比，代入等比数列通项公式得结果;

(2)先根据和项与通项关系求数列的通项公式，化简不等式并参变分离，再根据基本不等式求最值即得结果.

(1)由题意得，则，

解得或.

因为，则.

又，则，

即数列的通项公式为.

(2)当时，;

当时，，

当时也符合，故.

不等式对任意恒成立，

即对任意恒成立，

亦即对一切恒成立.

注意到，

当且仅当，即时等号成立，

从而，即实数的取值范围是.