Question

对于无穷数列，若正整数，使得当时，有，则称为“不减数列”.

(1)设，均为正整数，且，甲:为“不减数列”，乙:为“不减数列”.试判断命题:“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由;

(2)已知函数与函数的图象关于直线对称，数列满足，，如果为“不减数列”，试求的最小值;

(3)对于（2）中的，设，且.是否存在实数使得为“不减数列”?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.

Answer

(1)假，理由见解析;(2)2;(3)

【解析】

(1)根据“不减数列”定义直接判断充要关系，即得结果;

(2)先求，再探求的最小值，最后利用作差法证明；

(3)先结合（2）化简，，再根据新定义得不等式，并参变分离，根据奇偶性分类讨论，结合数列单调性求最值，即得结果.

(1)对于甲:为“不减数列”，

对于乙:为“不减数列”，

∵设，均为正整数，且，

∴乙甲，显然甲乙，

因此，甲是乙的必要条件，从而“甲是乙的充分条件”是假命题.

(2)∵函数与函数的图象关于直线对称，

∴函数为函数的反函数，且.

由，得.

由得，

假设，则，

即当时，.

于是，即.

亦即:数列，且，

因此，的最小值为2.

(3)假设存在实数使得为“不减数列”.

∵，∴是单调递增数列.

∵，且，

∴，

又，故当时，

，即.

若为大于或等于4的偶数，则有恒成立，

注意到数列关于递减，

所以，，即;

若为大于或等于3的奇数，则有恒成立，

注意到数列关于递增，

所以，，即;

又当时，

由，得.

综上所述，存在实数，且，

使得为“不减数列”，

即所求的取值范围是.