Question

若函数同时满足：①对于定义域内的任意，恒有；②对于定义域内的任意，，当时，恒有，则称函数为“友谊函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④，其中能被称为“友谊函数”的有__________（填相应的序号）．

Answer

②④.

【解析】

满足①，是奇函数，满足②，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质.单调性不满足；显然满足；和，分别用奇偶性定义判定是否为奇函数，再判定它们在定义域内的单调性是否满足.

，

①对于定义域内的任意，恒有；

即，所以是奇函数；

②对于定义域内的任意，，当时，

恒有，不妨设，

，

，

所以在定义域内是减函数；

①，在上是增函数，所以不是“友谊函数”；

②显然是奇函数，且在上是减函数，

所以是“友谊函数”；

③定义域为，，

是奇函数，，

是任意实数，设

，

，

在上是增函数，所以不是“友谊函数”；

④，，

所以是奇函数；

根据二次函数的单调性，在，都是减函数，

且在处连续，所以在上是减函数，

所以是“友谊函数”.

故答案为: ②④.