Question

对于函数，若存在,使得成立，则称为的不动点，已知函数

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数，函数恒有不动点，求的取值范围；

（3）在（2）条件下，若图象上的两点的横坐标是函数的不动点，且的中点在直线上，求的最小值.

Answer

（1）-1或3；（2）；（3）.

【解析】

（1）由已知可得的不动点，为方程的解，将代入，解方程，即可得出结论；

（2）由条件可得，将问题转化对于任意的实数，方程有实数解，利用一元二次方程有实数解，进而得到关于一元二次不等式恒成立，可求出的取值范围；

（3）的中点在直线上，利用韦达定理结合不动点定义，将中点坐标用表示，代入直线方程，表示成的函数，由的范围，利用函数思想求出的最小值.

（1）当，时，，

由或

当，时，求函数的不动点为-1或3；

（2）若对任意实数，函数恒有不动点，

即方程时恒有实数解，

，上恒成立，

，解得，

所以的取值范围；

（3）设的不动点为，则，

且，所以，

的中点坐标为，即为，

代入得，

，

当时，取得最小值为.