Question

已知函数,有以下结论:①任意,等式恒成立;②任意,方程有两个不等实数根;③存在无数个实数,使得函数在上有3个零点;④函数在区间上单调递增.其中正确结论有______.

Answer

①③

【解析】

①根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；②判断函数的奇偶性和最值即可判断；③根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断；④根据图象即可判断.

①∵，，

∴，，

即函数为奇函数，故恒成立，即①正确；

②∵，为奇函数，

∴为偶函数，

∴当时，方程只有一个实根，

当时，方程有两个不等实根，

即②错误；

③由，即，

∴，即是函数的一个零点，

又∵函数为奇函数，且在上单调递减，

∴可以存在无数个实数，使得函数在上有3个零点，

如图：

故③正确；

④根据③中的图象知，函数在区间上单调递减，故④错误.

故答案为：①③.