Question

已知函数（其中e为自然对数的底）.

（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：存在唯一的极小值点，且.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得，则在时恒成立，不等式可转化为，求出的最小值，令即可；

（2）时，，求出导函数，可知单调递增，令，易证，从而可证明存在唯一的极小值点，再结合，可得到和，从而可得到的表达式，结合，求出的取值范围即可.

（1）由题意，，则在时恒成立，即在时恒成立，

令，则，显然在上单调递增，则，所以只需，即满足在时恒成立，

故实数a的取值范围是.

（2），则，其定义域为，

求导得，显然是上的增函数，

，因为，所以，即，

，因为，所以，即，

令，则在上有唯一零点，且，

故时，单调递减，时，单调递增，所以存在唯一的极小值点.

因为，所以，两边取对数得，即，

故，，

构造函数，，

显然在上单调递减，所以，

又，，故，即.

所以存在唯一的极小值点，且.