Question

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,且线段的中垂线交轴于点,求点横坐标的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为:,根据离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,可得,即可求得答案;

（2）设的中点为,直线联立椭圆和直线方程:,解得范围,根据点差法求得与关系式,结合已知条件,即可求得答案.

（1）设椭圆的标准方程为:

离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为.

解得:

椭圆的标准方程为:

（2）设的中点为,直线

联立椭圆和直线方程: ,消掉

解得:

直线与椭圆交于不同的两点

,即:

解得:

设点 ,代入椭圆方程得:

将两个方程作差可得:

即:

可得: ①

根据与垂直可得: ②

又 根据两点的中点为,由中点坐标公式可得:

③

将②③代入①中可得:.④

将代入直线中得:⑤

联立④⑤ 得:

的中垂线方程为:

当,是可得:

,

又

点横坐标的取值范围:.