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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为....

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为.

1)求椭圆的标准方程;

2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,且线段的中垂线交轴于点,求点横坐标的取值范围.

 

(1)(2) 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为:,根据离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,可得,即可求得答案; (2)设的中点为,直线联立椭圆和直线方程:,解得范围,根据点差法求得与关系式,结合已知条件,即可求得答案. (1)设椭圆的标准方程为: 离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为. 解得: 椭圆的标准方程为: (2)设的中点为,直线 联立椭圆和直线方程: ,消掉 解得: 直线与椭圆交于不同的两点 ,即: 解得: 设点 ,代入椭圆方程得: 将两个方程作差可得: 即: 可得: ① 根据与垂直可得: ② 又 根据两点的中点为,由中点坐标公式可得: ③ 将②③代入①中可得:.④ 将代入直线中得:⑤ 联立④⑤ 得: 的中垂线方程为: 当,是可得: , 又 点横坐标的取值范围:.
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如图,直三棱柱中,的中点,四边形为正方形.

1)求证:平面

2)若为等边三角形, ,求点到平面的距离.

 

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为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了冰雪答题王冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,得到如图所示的频率分布直方图.

1)求的值;

2)估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

3)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为优秀,比赛成绩低于80分为非优秀.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关

 

优秀

非优秀

合计

男生

 

40

 

女生

 

 

50

合计

 

 

100

 

参考公式及数据:  

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

 

 

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1)求;

2)当时,求的最小值.

 

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