Question

已知函数（为自然对数的底数）．

（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出，利用导数性质能求出函数在区间上的最大值与最小值

（2）分离参量，结合题意中的恒成立，构造新函数，运用导数求出函数的最小值

（1）∵，

∴，

令，则，

所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，

∴，

．

（2）∵对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立．

令，则．

由于，所以在上单调递增．

又，，

所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．

即在单调递减，在上单调递增．

∴．

又，即，∴．

∴．

∵，∴．

又∵对任意恒成立，∴，

又，∴．