Question

已知的周长为且点,的坐标分别是, ,动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程;

（2）直线过点,交曲线于,两点,且为的中点,求直线的方程.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）依题意知,.结合,得出点到两个定点的距离之和等于定值,则点的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得,,,所以的椭圆的方程是.

（2）设,,根据两点在椭圆上,联立方程组,,两式相减整理可得,,可得斜率,由点斜式可得直线的方程.

解:（1）∵的周长为,点,,

∴,.

∵,∴点到两个定点的距离之和等于定值,

∴点的轨迹是椭圆,设它的方程为.

∴,,,

∴椭圆的方程是.

（2）设,,

两点在椭圆上,所以,

两式相减可得,

∵,,代入可得,

∴直线的方程是,即.