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已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

 

（1）讨论见解析；（2） 【解析】 （1）求出函数的导数，分和两种情况讨论可得. （2）由（1）当时，只需即可；当时，对和分类讨论即得. （1）. ①当时，，在上单调递减； ②当时，令，解得，， 所以在和上单调递减，在上单调递增. （2）当时，在上单调递减，且， 则只需，所以，又，所以. 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 且， ①当，即时，若在上恰好只有一个零点， 则，则无解； ②当，即时，若在上恰好只有一个零点， 则，解得. 综上，的取值范围为.
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