Question

已知函数，.

（1）若图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图像在 上单调递增，求的最大值；

（2）若函数在内恰有两个零点，求的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）由题变换后图像的解析式是：，求出的范围，再根据单调性列不等式组求解即可；

（2）化简可得，令，令，，分①，②，③，④，⑤讨论零点的情况.

（1）由题变换后图像的解析式是：

，

，，

，，，

由题：，且，

，

即的最大值为；

（2），

设，

当时，.

它的图形如图所示：

则.

令，，

①当时，，此时，仅有一个零点，对应一个x，不符题意；

②当时，，此时，仅有一个零点，对应两个x，符合题意；

③当时，，此时，有两个零点，，

由图，各对应一个x，符合题意；

④当时，若有两根，则必有，与矛盾；

⑤当吋，若取有两相等实根，则，白①②可知，；

⑥当在上有一根，在或上有一根；

或，则或，

解得：，

综上，.