Question

用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米．

（1）求横梁AB的长度；

（2）求梯形外框的用料长度；

（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，结果精确到1厘米）

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）以为坐标原点建立直角坐标系，利用抛物线方程求出，点坐标，即可求出横梁的长度；

（2）求出直线的方程，利用直线方程求出，点坐标，即可求出梯形外框的长度.

（1）如图所示以为坐标原点建立直角坐标系，

设抛物线方程为，

由题知在抛物线上满足抛物线方程，

所以点代入抛物线方程有，

得到抛物线方程为，

因为点，都在抛物线上，且点，的纵坐标都为，

所以当时，有，

有，，

，

故横梁的长度为.

（2）由题知点，是梯形与抛物线的公共点，且梯形的腰与抛物线相切，

设直线，

因为抛物线方程为，

联立方程组为，

整理得，

，

故直线，

当时，解得，故点，

当时，解得，故点，

有，，，

因为梯形关于轴对称，

所以梯形的周长为.