Question

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．

（1）令，，求的取值范围；

（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）当时，得到；当时，，利用对勾函数性质可求得，取并集得到结果；

（2）由（1）可将化为，得到的单调性后，可知最大值在或处取得；分别在和两种情况下确定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得结果.

（1）当时，

当时，

（当且仅当，即时取等号），又时，

综上所述：

（2）由（1）知：令，则，

当时，

当时，单调递减；时，单调递增

又，

①当时，

由得：

②当时，

由得：

综上所述：当时，综合污染指数不超标