Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不重合的点.

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；

（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为，当面积取最小值时，求直线AB的方程；

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据椭圆方程确定双曲线方程的，，即可求出双曲线方程；

（2）设，根据，建立，的关系即可求出点M的轨迹方程；

（3）根据题设条件，建立关于斜率的表达式，利用面积最小值求出斜率，进而求出直线AB的方程.

（1）由题知椭圆C的方程为，

则椭圆的，，，

所以椭圆的左焦点和左顶点的坐标分别为，，

设双曲线方程为，

根据题中条件有双曲线方程的，，，

所以双曲线方程为.

（2）设，，

由题知,，

有，

因为点在椭圆上，

有，

所以点的轨迹方程为.

（3）由题知，，

联立，

解得，，

所以，

，

因为是线段AB的垂直平分线，

所以，

联立，

解得，，

所以，

所以，

整理得，

当且仅当时等号成立，

等号成立时面积最小，即，

所以当面积取最小值时，直线AB的方程为.