Question

记无穷数列的前n项，，…，的最大项为，第n项之后的各项，，…的最小项为，．

（1）若数列的通项公式为，写出，，并求数列通项公式；

（2）若数列的通项公式为，判断是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；

（3）若数列为公差大于零的等差数列，求证：是等差数列．

Answer

（1），，；（2）是等差数列，公差；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用和表示出数列即可；

（2）根据，求出数列的单调性，进而求出的通项公式，确定数列类型；

（3）根据数列为公差大于零的等差数列，可以设数列的通项公式，然后求出数列的单调性，进而表示出的通项公式.

（1）由题知数列的通项公式为，在时是单调递增数列，

当时，，，

所以，

当时，，，

所以，

当时，数列为单调递增数列，

所以，，

故，

整理得.

（2）由题知数列的通项公式为，

所以数列是单调递减的数列，且，

由题知，，

因为，

故数列是单调递增数列，

所以当时，，，

故，

所以数列的通项公式是，

即数列是等差数列，公差.

（3）由题知数列为公差大于零的等差数列，

故设且公差，

当时，有，

整理得，

若，则有，

故，

因为，所以当时，

当时，

类似的可以证明，

因为，

故有，

故数列是单调递增数列，

所以当时，，，

故，

所以数列的通项公式是，

即数列是等差数列，公差为.