Question

如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.

（1）设，求三角形木块面积；

（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.

Answer

（1）；（2）,的面积最大值为

【解析】

（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；

（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.

【解析】
（1）过点作交于点，设交于点，

所以,

，

所以；

（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，

所以可只分析时的情况，

，

，

所以

，

令，，

故，

，

，

，

，

，

函数在单调递增，

所以当时，的面积最大，最大值为.