Question

已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer

（1）不等式的解集为：或；（2）或或；（3）.

【解析】

（1）利用对数函数的单调性，求解对数不等式；

（2）将对数方程转化为整式方程，根据解集只有一个元素以及真数要大于0进行分情况讨论求解；

（3）先求出最大值与最小值的差，进而转化为恒成立问题进行求解，分离变量构建新函数，求解最值，从而得出结果.

【解析】
（1）当时，

即为，

故，

等价于，

解得：或，

所以不等式的解集为：或.

（2）方程

即为，

等价于当时，方程①有一解，

①式化简为：②，

当时，方程②的解为，满足条件，故成立；

当时，方程②的解为，满足条件，故成立；

当且时，方程②的解为或，

若是方程①的解，则，即，

若是方程①的解，则，即，

要使方程①有且只有一解，故.

综上：方程的解集中恰好有一个元素时，的取值范围为或或.

（3）因为函数在区间上单调递减，

所以对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，

可转化为对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为，

所以等价于对任意恒成立，

分离变量得到：对任意恒成立，

令，

，

当时，，

当时，令，，

，

因为当时，函数单调递减，

故当时，，

故，

所以.