Question

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.

（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；

（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.

Answer

(1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）

【解析】

（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；

（2）条件是定义域为上的“局部中心函数”可转化为方程有解，再利用整体思路得出结果.

【解析】
（1）由题意，（），

所以，

，

当时，

解得：，

由于，所以，

所以为“局部中心函数”.

（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，

所以方程有解，

即在上有解，

整理得：，

令，，

故题意转化为在上有解，

设函数，

当时，在上有解，

即，

解得：；

当时，

则需要满足才能使在上有解，

解得：，

综上：.