Question

已知函数．

（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；

（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；

（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用公式变形后借助于周期函数的定义来证明；

（2）利用正弦函数的最大值在，最小值在，来求解；

（3）利用等比数列的定义及通项公式，即可求证.

（1）∵

∴

∴为周期函数，为其一个周期

（2）取最大值时，令，则,即；

取最小值时，令，则,即.

∵函数在上取最大值、最小值时，所对应的的值按从小到大依次记为

∴依次为

∴

（3）证明：由（2）知，不是的整数倍.

∴

∵

∴

∴是以为首项，为公比的等比数列

∴